Umh, sostanzialmente il problema è semplice, ovvero la connessione con il tracker va in timeout e quindi il tuo azureus vede il tracker come offline.
Ora, il problema è capire perché succede e come si può evitarlo.
Per prima cosa ragioniamo sui valori di timeout, il mio azureus ha preimpostati questi

120 e 60 mi sembrano già più che abbondanti, puoi provare ad aumentarli ma dubito che possa cambiare qualcosa.
Visto quanto dici su modem/router suppongo tu abbia un problema di NAT (ovvero l'icona rimane gialla e non diventa mai verde), la cosa però non dovrebbe essere un problema.
A dirla tutta niente dovrebbe essere un problema visto che se la connessione viene stabilita non c'è ragione per cui dovrebbe andare in timeout senza motivo.
Giusto per provare puoi aggiornare il jre nel caso avessi una versione vecchia, scaricalo da
qui, in ogni caso tenere aggiornare il jre è sempre positivo.
Per il resto assicurati di non avere firewall software che si comportano in modo strano (ma in teoria quelli o bloccano o non bloccano, non si dovrebbero svegliare durante la notte decidendo di bloccare la connessione).
Se (come è molto probabile) non cambierà niente puoi provare altri client alternativi.
Direi che 2 ottime scelte (e sono probabilmente meglio di una versione vecchia di azureus) sono Bitcomet e utorrent.
Per
Bitcomet se sei nattata (icona sempre gialla su azureus) forse possono esserti utili le
impostazioni postata da flavia_posy (fastweb, quindi nattata di default) sul forum knights, anche se forse per iniziare potrebbe convenire lasciare in automatico il numero di connessioni e di slot.
Per quanto riguarda
utorrent invece disabiliterei "Enable DHT" in settings->torrent options e disabilitarei anche UPnP port mapping sotto network options (nel caso sia abilitato).
Prova a vedere se con questi il problema si ripresenta.
Un'altra cosa da fare sarebbe anche quella di limitare la velocità di upload all'80% di quella massina (25-266Kb/s), in questo modo avresti sicuramente meno problemi a navigare e avresti la possibilità di raggiungere velocità di download più elevate (io a dire il vero non supero mai i 22-23Kb/s totali tra emule e bittorrent).